题目

输入$n$条有向边,确定是否能一笔画,如果能则输出最大的“起点*终点“,否则输出$-1$。

题解

欧拉图模板题。

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题目

UESTC-2430完全一致,数据量增大。

题解

我觉得没写啥的必要了,和UESTC-2430完全一致,加上二进制优化就行。

代码

AC代码

这是debug之后了的,注意到打开了OPTIMIZE宏。

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// @author: hzy
//#pragma G++ optimize("O3")

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <list>
#include <forward_list>
#include <stack>
#include <unordered_set>
#include <vector>
#include <limits.h>

#define DISPLAY_A 0
#define OPTIMIZE 1

using namespace std;

class Thing {
public:
long long weight, value, number;
};

class Special {
public:
long long x, y, z;

long long getValue(long long weight) {
if (weight == 0) {
return max(0ll, z);
}
return x * weight * weight + y * weight + z;
}
};

Thing things[10007 * 15];
int cnt = 0;
Special specials[6];

long long dp0[10007];
long long dp[10007];

const int pow2[] = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384};

# if OPTIMIZE

// 二进制优化
int optimize() {
int st = cnt;
int d = 0;
while (things[cnt].number > pow2[d]) {
things[cnt].number -= pow2[d];
// things[d + 1].number = 1;
things[cnt + d + 1].weight = things[cnt].weight * pow2[d];
things[cnt + d + 1].value = things[cnt].value * pow2[d];
d += 1;
}
things[cnt].weight = things[cnt].weight * things[cnt].number;
things[cnt].value = things[cnt].value * things[cnt].number;
// things[cnt].number = 1;
cnt += d + 1;
return st;
}

#endif

#if DISPLAY_A
int sp[1007];
#endif

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
int n, m, c;
cin >> n >> m >> c;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> things[cnt].weight >> things[cnt].value >> things[cnt].number;
// 多重背包
#if OPTIMIZE
// 二进制优化
optimize();
#else
for (int j = 1; j <= c; j++) {
// 不拿的情况(k=0)已经包含了
for (int k = 1; k <= things[cnt].number; k++) {
int weight = k * things[cnt].weight;
if (j < weight) {
break;
}
dp[j] = max(dp[j], dp0[j - weight] + things[cnt].value * k);
}
}
memcpy(dp0, dp, sizeof(long long) * (c + 3));
#endif
}
for (int i = 0; i < cnt; i++) {
for (int j = 1; j <= c; j++) {
if (j < things[i].weight) {
continue;
}
dp[j] = max(dp0[j], dp0[j - things[i].weight] + things[i].value);
}
memcpy(dp0, dp, sizeof(long long) * (c + 3));
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cin >> specials[i].x >> specials[i].y >> specials[i].z;
// 计算神奇物品
for (int j = 0; j <= c; j++) {
for (int k = 0; k <= j; k++) {
#if DISPLAY_A
if (dp[j] < dp0[j - k] + specials[i].getValue(k)) {
dp[j] = dp0[j - k] + specials[i].getValue(k);
sp[i] = k;
}
#else
dp[j] = max(dp[j], dp0[j - k] + specials[i].getValue(k));
#endif
}
}
memcpy(dp0, dp, sizeof(long long) * (c + 3));
}
#if DISPLAY_A
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cout << sp[i] << " ";
}
cout << endl;
#endif
cout << dp[c] << endl;
return 0;
}

测试例生成(Python)

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def G(n, m, c, max=1e3, filename='/Volumes/RD/in'):
n = int(n)
m = int(m)
c = int(c)
f = open(filename, 'w')
f.write("{} {} {}\r\n{}\r\n{}".format(
n, m, c, "\r\n".join([
"{} {} {}".format(random.randint(1, max), random.randint(1, max), random.randint(1, max))
for i in range(n)
]),
"\r\n".join([
"{} {} {}".format(random.randint(-max, max), random.randint(-max, max), random.randint(-max, max))
for i in range(m)
])
))
f.close()

题目

给任意一个字符串,求最少插入多少字符可以得到回文串。

题解

参照leetcode 1312

求该字符串与它的反序的最长公共子序列(LCS)长度,然后用字符串长度减去这个长度,输出答案完事,时间复杂度为字符串长度的平方。签到题。

代码

因为一发入魂,就没写测试例生成和暴力验证。

AC代码

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// @author: hzy
//#pragma G++ optimize("O3")

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <list>
#include <forward_list>
#include <stack>
#include <unordered_set>
#include <vector>
#include <limits.h>

#define DISPLAY_A 0

using namespace std;

const int MAX = 5e3 + 7;

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
int n;
cin >> n;
string s;
cin >> s;
string inv = s;
reverse(inv.begin(), inv.end());
// LCS
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 1));
dp[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (s[i - 1] == inv[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
}
}
}
cout << n - dp[n][n] << endl;
return 0;
}

题目

有$n$种普通物品,第$i$种物品的体积为$V_i$,价值$W_i$,数量$D_i$,有$m$件神奇物品,神奇物品的价值由分配的体积$V_i$决定,计算公式为
$$
W_i=x_iV_i^2+y_iV_i+z_i
$$
给一个体积为$C$的背包,求最大价值。

题解

多重背包+泛化物品。

先说多重背包的部分。

其实背包问题没啥好讲的,考虑0-1背包,$dp[i][j]$表示前$i$个物品在容量为$j$的背包下的最大价值,有状态转移方程
$$
dp[i][j]=\max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-V_i]+W_i)
$$
这题数据量比较小,直接朴素做法就行,把多重背包考虑为多个相同重量和价值的物品,就可以转变为0-1背包,时间复杂度$O(nCD)$(讲道理这已经达到1e9了,居然没超时)。

再来说一下泛化物品。

参照背包九讲中关于泛化物品的部分。计算完多重背包的部分之后,我们得到了一个在没有神奇物品情况下,任意容量背包能装的最大价值。背包九讲中对于多个泛化物品的操作是两两合并,这样就只有一个泛化物品了,但是我觉得太麻烦,其实泛化物品就相当于有$C$个一般物品,并且将它们放到一个组(也就是只能拿一个,因为泛化物品只有一个),这样就转变为分组背包,遍历容量然后求最大值就行,同样考虑$dp[i][j]$为前$i$个神奇物品在容量为$j$的背包下的最大价值,转移方程为
$$
dp[i][j]=\max{dp[i-1][j-v]+x_iv^2+y_iv^2+z_i|v\in[1,j]}
$$
注意到$j$是两重循环,所以是这部分复杂度是$O(mC^2)$。

代码

暴力测试的程序代码找不到了,嘤嘤嘤。

AC代码

OPTIMIZE是二进制优化,在写这题的时候没有并没有完成这一部分,朴素暴过去的。

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// @author: hzy
//#pragma G++ optimize("O3")

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <list>
#include <forward_list>
#include <stack>
#include <unordered_set>
#include <vector>
#include <limits.h>

#define DISPLAY_A 0
#define OPTIMIZE 0

using namespace std;

class Thing {
public:
int weight, value, number;

};

class Special {
public:
int x, y, z;

int getValue(int weight) {
if (weight == 0) {
return max(0, z);
}
return x * weight * weight + y * weight + z;
}
};

Thing things[1007 * 15];
int cnt = 0;
Special specials[6];

int dp0[1007];
int dp[1007];

const int pow2[] = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024};

# if OPTIMIZE
// 二进制优化
int optimize() {
int st = cnt;
int d = 0;
while (things[cnt].number > pow2[d]) {
things[cnt].number -= pow2[d];
things[d + 1].number = 1;
things[d + 1].weight = things[cnt].weight * pow2[d];
things[d + 1].value = things[cnt].value * pow2[d];
d += 1;
}
things[cnt].weight = things[cnt].weight * things[cnt].number;
things[cnt].value = things[cnt].value * things[cnt].number;
things[cnt].number = 1;
// 考虑不拿的情况
cnt += d + 2;
return st;
}
#endif

#if DISPLAY_A
int sp[1007];
#endif

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
int n, m, c;
cin >> n >> m >> c;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> things[cnt].weight >> things[cnt].value >> things[cnt].number;
// 多重背包
#if OPTIMIZE
// 二进制优化
auto st = optimize();
for (int k = st; k < cnt; k++) {
for (int j = 1; j <= c; j++) {
if (j < things[k].weight) {
continue;
}
dp[j] = max(dp[j], dp0[j - things[k].weight] + things[k].value);
}
memcpy(dp0, dp, sizeof(int) * c + 3);
}
#else
for (int j = 1; j <= c; j++) {
// 不拿的情况(k=0)已经包含了
for (int k = 1; k <= things[cnt].number; k++) {
int weight = k * things[cnt].weight;
if (j < weight) {
break;
}
dp[j] = max(dp[j], dp0[j - weight] + things[cnt].value * k);
}
}
memcpy(dp0, dp, sizeof(int) * (c + 3));
#endif
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cin >> specials[i].x >> specials[i].y >> specials[i].z;
// 计算神奇物品
for (int j = 0; j <= c; j++) {
for (int k = 0; k <= j; k++) {
#if DISPLAY_A
if (dp[j] < dp0[j - k] + specials[i].getValue(k)) {
dp[j] = dp0[j - k] + specials[i].getValue(k);
sp[i] = k;
}
#else
dp[j] = max(dp[j], dp0[j - k] + specials[i].getValue(k));
#endif
}
}
memcpy(dp0, dp, sizeof(int) * (c + 3));
}
#if DISPLAY_A
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cout << sp[i] << " ";
}
cout << endl;
#endif
cout << dp[c] << endl;
return 0;
}

测试例生成(Python)

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def G(n, m, c, max=1e3, filename='/Volumes/RD/in'):
n = int(n)
m = int(m)
c = int(c)
f = open(filename, 'w')
f.write("{} {} {}\r\n{}\r\n{}".format(
n, m, c, "\r\n".join([
"{} {} {}".format(random.randint(1, max), random.randint(1, max), random.randint(1, max))
for i in range(n)
]),
"\r\n".join([
"{} {} {}".format(random.randint(-max, max), random.randint(-max, max), random.randint(-max, max))
for i in range(m)
])
))
f.close()

题目

UESTC-2428基本相同,区别在于只能相邻的两个进行交换,询问最少交换次数。

题解

有一说一,这题我没怎么搞懂,基本上全靠出题人的PPT。

这题比较直白了,直接就是$1\sim 20$的数字。继续使用状态压缩,变量$s$二进制表示状态,$dp[s]$表示状态$s$需要的最少交换次数,$w[i][j]$表示原排列i在j前面的对数,状态转移方程
$$
dp[s]=\min{dp[s-(1<<i)]+\sum_{j\in s &j\ne i}w[i][j]}
$$
显然$dp[0]=0$。

$w$直接暴力就行,题解上给的做法也是暴力。(学姐真是太良心了)

代码

虽然没有一发入魂(某个循环的边界写错了),但是调了几下就过了,所以也没有写测试例生成和暴力验证……

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// @author: hzy
//#pragma G++ optimize("O3")

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <list>
#include <forward_list>
#include <stack>
#include <unordered_set>
#include <vector>
#include <limits.h>

#define DISPLAY_A 0

using namespace std;

const int MAX = 1e5 + 7;

unsigned int s = 1;

int a[MAX];
int cnt[27];
int w[27][27];

const unsigned int full = (1u << 20u) - 1;
long long dp[full + 7];

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
a[i] -= 1;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cnt[a[i]]++;
for (int j = 0; j < 20; j++) {
w[j][a[i]] += cnt[j];
}
}
for (; s <= full; s++) {
dp[s] = 0x7fffffffffffffffll;
for (int i = 0; i < 20; i++) {
if (!(s & (1 << i))) {
continue;
}
long long ans = 0;
for (int j = 0; j < 20; j++) {
if (i == j || !(s & (1 << j))) {
continue;
}
ans += w[i][j];
}
dp[s] = min(dp[s], dp[s - (1 << i)] + ans);
}
}
cout << dp[full] << endl;
return 0;
}

题目

给一段长度为$n$的序列,包含$1\sim m$的数字,可以任意交换两个数字的位置,目标是让所有相同的数字相邻,问最多可以有几个数字的位置不被交换。

题解

参照出题人的PPT。

把“已经排列好的数字种类的集合”视为状态,不考虑集合中数字的顺序,他们的总数是固定的,记状态为$s$,已经排列的人数为$f[s]$,这个可以在输入的时候直接求出来。$m$最大只有20,直接位运算来实现集合。$dp[s]$表示状态$s$最多能固定的数字数量。

枚举$s$,在每次枚举的时候枚举数字$i$,考虑

  • $i$不在$s$中,则$dp[s|(1<<i)]=\max{dp[s]+sum[r][i]-sum[l-1][i]|i\in[0,m-1]}$
  • $i$在$s$中,则$dp[s]=\max{dp[s\oplus(1<<i)]+sum[r][i]-sum[l-1][i]|i\in[0,m-1]}$

注意我为了方便位运算将输入序列全部减去1。

最后输出$dp[(1<<m)-1]$即可。

代码

因为一发入魂,所以没有写测试例生成和暴力验证。

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// @author: hzy
//#pragma G++ optimize("O3")

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <list>
#include <forward_list>
#include <stack>
#include <unordered_set>
#include <vector>
#include <limits.h>

#define DISPLAY_A 0

using namespace std;

const int MAX = 1e5 + 7;

unsigned int s;

int n, m;
int dp[1 << 21];
int f[1 << 21];
int a[MAX + 1];
int sum[MAX + 1][20 + 1];

int getSum(int c) {
int k = 0;
int ans = 0;
for (; c; c >>= 1, k++) {
ans += c & 1 ? sum[n][k] : 0;
}
return ans;
}

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
// 从0开始
a[i] -= 1;
for (int j = 0; j < m; j++) {
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + (j == a[i]);
}
}
const int full = (1 << m) - 1;
for (int i = 0; i <= full; i++) {
f[i] = getSum(i);
}
while (s <= full) {
for (int i = 0; i < m; i++) {
int l = f[s] + 1;
int r = f[s | (1 << i)];
if (s & (1 << i)) {
dp[s] = max(dp[s], dp[s - (1 << i)] + sum[r][i] - sum[l - 1][i]);
} else {
dp[s | (1 << i)] = max(dp[s | (1 << i)], dp[s] + sum[r][i] - sum[l - 1][i]);
}
}
s++;
}
cout << dp[full] << endl;
return 0;
}

题目

给一组长度为$n$序列,相邻的数字可以合并为一个数字,合并后的数字等于合并前的数字+1,问合并后的数字最少是多少个。

题解

参照出题人PPT,是区间DP没错了。

$dp[l][r]$表示区间$[l,r]$在合并过之后有多少个数,$ag[l][r]$表示区间$[l,r]$合并成一个(如果可以)的数。

不好解释,直接看代码吧。。。

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for (int mid = l; mid <= r; mid++) {
if (dp[l][mid] == 1 && dp[mid + 1][r] == 1 &&
ag[l][mid] == ag[mid + 1][r] && ag[l][mid] != 0) {
// merge
dp[l][r] = 1;
ag[l][r] = ag[l][mid] + 1;
}
dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][mid] + dp[mid + 1][r]);
}

对于区间$[l,r]$,将其分为$[l,mid]$和$[mid+1,r]$,看能否合并,然后最小值。

然后枚举长度和$l$即可,复杂度$O(n^3)$。

代码

因为一发入魂,就没写测试例生成和暴力程序了。

AC代码

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// @author: hzy
//#pragma G++ optimize("O3")

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <list>
#include <forward_list>
#include <stack>
#include <unordered_set>
#include <vector>
#include <limits.h>

#define DISPLAY_A 0

using namespace std;

const int MAX = 500 + 7;

int arr[MAX];
int ag[MAX][MAX];
int dp[MAX][MAX];

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dp[i][j] = n;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> arr[i];
dp[i][i] = 1;
ag[i][i] = arr[i];
}
for (int len = 1; len <= n; len++) {
for (int l = 1; l + len <= n; l++) {
int r = l + len;
for (int mid = l; mid <= r; mid++) {
if (dp[l][mid] == 1 && dp[mid + 1][r] == 1 &&
ag[l][mid] == ag[mid + 1][r] && ag[l][mid] != 0) {
// merge
dp[l][r] = 1;
ag[l][r] = ag[l][mid] + 1;
}
dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][mid] + dp[mid + 1][r]);
}
}
}
cout << dp[1][n] << endl;
return 0;
}

题目

给一颗$n$节点的树,1节点为根节点,求最少减去多少条边可以得到一颗$p$节点的树。

题解

参照洛谷P1272

基本上是原题了。

$dp[i][j]$表示以$i$为根节点时获得节点数为$p$的树最少需要的修建次数。状态转移方程
$$
dp[i][j]=\min{dp[i][j-k]+dp[son][k]-1|k\in[1,j]}
$$
$son$是$i$的子节点。

考虑到不一定1为根节点($dp[1][p]$)才是最优,所以我们可以遍历每一个节点作为根节点的情况。注意到除了根节点之外,其他节点为根节点的话需要断开自己与父节点的边,所以遍历的时候+1即可。

还有一个坑是输入。每行输入的是$u$和$v$表示$u$和$v$之间有一条边,然而并不知道哪个是父节点,所以得专门做一次处理,我懒得搞骚操作直接暴力了,速度还行吧。

代码

AC代码

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// @author: hzy
//#pragma G++ optimize("O3")

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <list>
#include <forward_list>
#include <stack>
#include <unordered_set>
#include <vector>
#include <limits.h>

#define DISPLAY_A 0

using namespace std;

const int MAX = 200 + 7;

set<int> nodes[201];

int dp[201][201];

int dfs(int root) {
int sum = 1;
for (auto son:nodes[root]) {
sum += dfs(son);
// TODO: optimize
for (int j = sum; j >= 1; j--) {
for (int k = 1; k < j; k++) {
dp[root][j] = min(dp[root][j], dp[root][j - k] + dp[son][k] - 1);
}
}
}
return sum;
}

int dset[201];

struct Edge {
int u, v;
};

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
int n, p;
cin >> n >> p;
int u, v;
dset[1] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dp[i][j] = n;
}
}
// 构建单向边
map<int, Edge> edge;
int cnt = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
cin >> u >> v;
// 干就完事了
if (u == 1) {
nodes[u].insert(v);
dset[v] = u;
} else if (v == 1) {
nodes[v].insert(u);
dset[u] = v;
} else if (dset[u]) {
nodes[u].insert(v);
dset[v] = 1;
} else if (dset[v]) {
nodes[v].insert(u);
dset[u] = 1;
} else {
// 姑且记录一下
edge[cnt].u = u;
edge[cnt].v = v;
cnt += 1;
}
}
set<int> af;
while (!edge.empty()) {
for (auto &it:edge) {
if (dset[it.second.u]) {
nodes[it.second.u].insert(it.second.v);
dset[it.second.v] = 1;
af.insert(it.first);
} else if (dset[it.second.v]) {
nodes[it.second.v].insert(it.second.u);
dset[it.second.u] = 1;
af.insert(it.first);
}
}
for (auto &it:af) {
edge.erase(it);
}
af.clear();
}
// init
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][1] = nodes[i].size();
}
// search
dfs(1);
int ans = dp[1][p];
#if DISPLAY_A
int idx = 1;
#endif
for (int i = 2; i <= n; i++) {
#if DISPLAY_A
if (ans > dp[i][p] + 1) {
ans = dp[i][p] + 1;
idx = i;
}
#else
ans = min(ans, dp[i][p] + 1);
#endif
}
#if DISPLAY_A
cout << ans << " " << idx << endl;
#else
cout << ans << endl;
#endif
return 0;
}

测试例生成(Python)

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def N(n, p, filename='in'):
n = int(n)
p = int(p)
f = open(filename, 'w')
f.write("{} {}\r\n{}\r\n".format(
n, p,
"\r\n".join([
"{} {}".format(random.randint(1, i - 1), i) for i in range(2, n + 1)
])
))

题目

给定$m$个牛头人和$p$个老哥,老哥向一个方向移动,遇到牛头人时牛头人停止活动,现在给出牛头人出现的时间距离,让所有牛头人加起来的活动时间最短,安排老哥的出发时间。

题解

参照出题人PPT的状态转移方程。

首先简化问题,假设所有牛头人都出现在起始位置,直接用时间减去距离即可,为了方便后面的操作再排序一下,设为$a[]$,$dp[i][j]$表示第$i$个老哥在$a[j]$时刻出发前$j$牛头人的最少活动时间,于是有状态转移方程
$$
dp[i][j]=\min{dp[i-1][k]+\sum_{x=k+1}^{j}(a[j]-a[x])|k\in[1,j]}
$$
考虑用前缀和,令
$$
s[j]=\sum_{x=1}^ja[x]
$$
方程可以变为
$$
dp[i][j]=\min{(dp[i-1][k]+s[k])-k\cdot a[j]+(j\cdot a[j]-s[j])|k\in[1,j]}
$$
考虑$i\in[1,p]$,$j\in[1,m]$,直接DP的话复杂度依然高达$O(pm^2)$,因为式子中有一项同时包含$k$和$j$,所以无法用单调队列优化,我们考虑斜率优化。

设$k_1<k_2$且$k_2$比$k_1$更优,即
$$
(dp[i-1][k_2]+s[k_2])-k_2\cdot a[j]+(j\cdot a[j]-s[j])<
(dp[i-1][k_1]+s[k_1])-k_1\cdot a[j]+(j\cdot a[j]-s[j])
$$

$$
(dp[i-1][k_2]+s[k_2])-k_2\cdot a[j]<
(dp[i-1][k_1]+s[k_1])-k_1\cdot a[j]
$$

$$
\frac{(dp[i-1][k_2]+s[k_2])-(dp[i-1][k_1]+s[k_1])}{k_2-k_1}<a[j]
$$

(虽然我不知道变换出这个式子之后有什么用,总之就放这吧)

其实对于斜率优化,我的理解是对于不同的自变量(这里是$k$),取到的值不同,而当$k_1<k_2$且从$k_1$到$k_2$的斜率小于这里的$a[j]$(注意$a[j]$单调不减)时,则后续的状态转移一定不会有$k_1$,因为$k_2$一定比$k_1$更优,同时能取到的点集会有斜率单调不减的特征,也就是一个下凸包,同时那个最优的点就是凸包上第一个斜率大于等于$a[j]$的点,由于$a[j]$单调不减,所以在取了这点之后可以直接将这个点以前的点全部移除。

之后就是代码实现了,我用一个数组来维护下凸包,准确说是一个双向队列(两个变量headtail,但是STL的deque效率不得行,所以是手写的。

代码

AC代码

这题int会溢出,我吐了。

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// @author: hzy
//#pragma G++ optimize("O3")

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <list>
#include <forward_list>
#include <stack>
#include <unordered_set>
#include <vector>
#include <limits.h>

#define DISPLAY_A 0

using namespace std;

const int MAX = 1e5 + 7;

long long a[MAX];
long long sum[MAX];

long long dp[100 + 7][MAX];

float grad(const long long *arr, long long x1, long long x2) {
return ((float) (arr[x2] + sum[x2] - arr[x1] - sum[x1])) / ((float) (x2 - x1));
}

int ndeq[MAX];

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
int m, p;
cin >> m >> p;
int tmp;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cin >> tmp >> a[i];
a[i] -= tmp;
}
sort(a + 1, a + m + 1);
// 前缀和
for (int i = 1; i <= m; i++) {
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[1][j] = a[j] * j - sum[j];
}
for (int i = 2; i <= p; i++) {
// 斜率优化
int head = 0, tail = 0;
// 必然吧
dp[i][1] = 0;
ndeq[tail] = 0;
tail++;
for (int j = 2; j <= m; j++) {
// 准备插入j,维护斜率递增,左侧斜率小于右侧斜率
while (tail - head >= 2 &&
grad(dp[i - 1], ndeq[tail - 2], ndeq[tail - 1]) >=
grad(dp[i - 1], ndeq[tail - 1], j)) {
// 出栈
tail--;
}
// 这一点应该是一定会加入的
ndeq[tail] = j;
tail++;
// 找不到情况队处理
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
// TODO: 二分查找
// 大概直接查找就完事了
for (int k = head; k < tail - 1; k++) {
// 斜率递增,故左斜率<=a[j]&&右斜率>=a[j]时最优
if (dp[i - 1][ndeq[k + 1]] + sum[ndeq[k + 1]] - dp[i - 1][ndeq[k]] - sum[ndeq[k]] >=
a[j] * (ndeq[k + 1] - ndeq[k]) &&
dp[i - 1][ndeq[k]] + a[j] * (j - ndeq[k]) - (sum[j] - sum[ndeq[k]]) <= dp[i][j]) {
// 是这点了
dp[i][j] = dp[i - 1][ndeq[k]] + a[j] * (j - ndeq[k]) - (sum[j] - sum[ndeq[k]]);
// 修改队首
head = k;
break;
}
}
head = min(head, tail - 1);
}
}
cout << dp[p][m] << endl;
return 0;
}

测试例生成(Python)

为了方便直接将位置都设为0了。

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def e(m, p, max=1e9, filename='in'):
m = int(m)
p = int(p)
fi = open(filename, 'w')
fi.write("{} {}\r\n{}\r\n".format(
m, p, "\r\n".join([
"0 {}".format(random.randint(0, max))
for i in range(m)
])
))
fi.close()

暴力验证

只是没有斜率优化,其他一样。

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// @author: hzy
//#pragma G++ optimize("O3")

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <list>
#include <forward_list>
#include <stack>
#include <unordered_set>
#include <vector>
#include <limits.h>

#define DISPLAY_A 0

using namespace std;

const int MAX = 1e5 + 7;

long long a[MAX];
long long sum[MAX];

long long dp[100 + 7][MAX];

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
int m, p;
cin >> m >> p;
int tmp;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
cin >> tmp >> a[i];
a[i] -= tmp;
}
sort(a + 1, a + m + 1);
// 前缀和
for (int i = 1; i <= m; i++) {
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[1][j] = a[j] * j - sum[j];
}
for (int i = 2; i <= p; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][1] + a[j] * (j - 1) - (sum[j] - sum[1]);
for (int k = 1; k <= j; k++) {
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][k] + a[j] * (j - k) - (sum[j] - sum[k]));
}
}
}
cout << dp[p][m] << endl;
return 0;
}